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负指数分布_百度百科

布_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10负指数分布播报讨论上传视频指数分布本词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证。负指数分布又称指数分布。泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔）服从指数分布。用于描述非老化性元件的寿命（元件不老化，仅由于突然故障而毁坏）。常假定排队系统中服务器的服务时间和Petri网中变迁的实施速率符合指数分布。中文名负指数分布外文名negative exponential distribution别名指数分布学科数学应用可靠性模型目录1简介2指数分布描述▪概率密度函数▪累积分布函数3记号4特性▪均值和方差▪无记忆性▪与泊松过程的关系▪四分位数5参数估计▪最大似然法简介播报编辑在概率理论和统计学中，负指数分布（也称为指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当时有。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。指数分布描述播报编辑概率密度函数一个指数分布的概率密度函数是：其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X~ Exponential（λ）。累积分布函数累积分布函数可以写成：记号播报编辑若随机变量服从参数为的指数分布，则记为特性播报编辑均值和方差随机变量X(X的率参数是λ) 的期望值是：比方说：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。X的方差是：X的偏离系数是：V[X] = 1无记忆性指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：与泊松过程的关系泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性 [1]。四分位数率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：第一四分位数：中位数：第三四分位数：参数估计播报编辑最大似然法给定独立同分布样本x= (x1, ...,xn)，λ的似然函数（Likelihood function）是：其中：是样本均值。似然函数对数的导数是：概率参数的最大似然（Maximum likelihood）估计值是 [2]：新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

数学系列 - 概率论 - 泊松分布和(负)指数分布_负指数分布-CSDN博客

数学系列 - 概率论 - 泊松分布和(负)指数分布

奶油松果

已于 2022-03-16 13:55:00 修改

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概率论

于 2022-02-27 12:16:37 首次发布

本文链接：https://blog.csdn.net/qq_36930921/article/details/123160955

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概率论-泊松分布和负指数分布

1. 泊松分布（1）引语（2）含义与公式（3）泊松分布图像：(4)期望与方差：

2.(负)指数分布(1) 例子(2) 含义与公式(3)图像

参考链接1 参考链接2

1. 泊松分布

（1）引语

日常生活中，有很多事情是有固定频率的。我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

（2）含义与公式

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。公式解释：等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

（3）泊松分布图像：

在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

(4)期望与方差：

泊松分布的期望和方差

由泊松分布知E[N(t) − N(t0)] = D[N(t) − N(t0)] = λ(t − t0) 特别的，令t_0=0.由于假设N(0)=0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt, 泊松过程的强度lambda （常数）等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。即对泊松分布有：E(X) = D(X) = λ

2.(负)指数分布

(1) 例子

这些例子都属于指数分布

婴儿出生的时间间隔来电的时间间隔奶粉销售的时间间隔网站访问的时间间隔

(2) 含义与公式

指数分布是事件的时间间隔的概率。如果下一个婴儿间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

(3)图像

随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？

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数学系列 - 概率论 - 泊松分布和(负)指数分布

@[TOC](概率论 - 泊松分布和(负)指数分布)参考链接1参考链接21. 泊松分布（1）引语日常生活中，有很多事情是有固定频率的。我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。（2）含义与公式泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。公式解释：等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示

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Negative Exponential distribution:负指数分布-matlab开发

06-01

负指数分布

指数分布和泊松分布的区别和联系

123

07-15

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1. 两者的联系

在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。

2. 两者的模型

（1）指数分布

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/2021071514570235.png?x-oss-process=im

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如果做一次实验，一个独立的事件EEE发生的概率是ppp，那么请问，连续做nn...

负指数分布及其性质

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4030

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负指数分布及其性质

一.概率密度函数

P(x=i)=Ci+r−1r−1pr(1−p)iP(x = i) = C_{i+r-1}^{r-1}p^r(1-p)^iP(x=i)=Ci+r−1r−1pr(1−p)i

负指数分布的性质_负指数分布.ppt

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负指数分布2. Poisson输入，又称最简单流. 满足下面三个条件的输入称之为最简单流. (1) 平稳性. 又称输入过程是平稳的，指在长度为t的时段内恰好到达k个顾客的概率仅与时段长度有关，而与时段起点无关, 即对任意?∈(0,∞)，在(?,?+t]或(0, t)内恰好到达k个顾客的概率相等：设初始条件为 , 且有 ...

常用概率分布

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04-10

3295

1.正态分布

2.二项式分布

3.泊松分布

4.均匀分布

5.卡方分布

6.beta分布

排队论初探

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11-11

794

排队论

一、泊松过程和负指数分布

1.1 泊松分布

如果直接看泊松分布表达式，会觉得十分费解，不知道这个式子是怎么搞出来的。但是这个式子是可以推导出来的，他其实是下面这个式子的当n趋于正无穷的极限。

Cnkpk(1−p)n−k,p=λn(1)

C^k_np^k(1-p)^{n-k},\tag{1}\\

p = \frac \lambda n

Cnkpk(1−p)n−k,p=nλ(1)

这个式子很好解释，第一行描述的是一个二项分布，做n次实验，有k个人来的概率。而第二个式子就是描述的是概率的计算过

MATLAB生成负指数分布

weixin_42003110的博客

03-29

6894

实现代码如下：

x=0:0.001:10;

y=5*exp(-x);

plot(x,y);

最详解泊松分布Poisson distribution

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https://www.bilibili.com/video/BV1CA411P7bL

https://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html发布于 2023-05-09 09:08・IP 属地云南统计学统计赞同 143 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录

从负指数分布/泊松分布到排队论(经理能扣篮，但不经常也不绝对)_负指数分布性质推导-CSDN博客

从负指数分布/泊松分布到排队论(经理能扣篮，但不经常也不绝对)

最新推荐文章于 2022-12-04 17:16:26 发布

dog250

最新推荐文章于 2022-12-04 17:16:26 发布

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版权

从经理穿着皮鞋能不能扣篮，引起了一段思考。

周六上午在家带娃，我已经快崩溃，所以作文时间放在了午后。

假如你相信上帝真的是在掷骰子，那么我们的世界就是上帝的一系列实验生成的。假如你相信世界是二元元素的组合，那么使用二进制便可以完整描述整个世界。

一切从二项分布开始裂变。

二项分布

让我们看一道非常简单的概率统计习题：如果做一次实验，一个独立的事件

E发生的概率是

p，那么请问，连续做

n次实验，让事件

E发生

k次的概率是多少？

非常简单的习题，只要知道独立事件同时发生的概率相乘性质即可解题。

单次事件发生的概率就是

p，单次事件不发生的概率是

−

1-p

1−p事件发生

k次的概率就是

p^k

pk实验进行了

n次，

k次发生了事件，意味着

−

n-k

n−k次没有发生事件

−

n-k

n−k次没有发生事件的概率是

(

−

)

−

(1-p)^{n-k}

(1−p)n−k事件的发生与实验顺序无关，故发生

k次的可能性有

C_n^k

Cnk种

综上1～4，连续做

n次实验，事件

E发生

k次的概率为：

(

)

(

−

)

−

P(X=k)=C_n^k\times p^k\times (1-p)^{n-k}

P(X=k)=Cnk×pk×(1−p)n−k

是的，这就是二项分布。

根据以上的二项分布，我们可以计算出在

(

)

P(X=k)

P(X=k)的概率下，重复实验

k次，事件发生的平均次数为：

\lambda=n\times p

λ=n×p

现在让我们来看所谓的事件以及平均次数的具体意义和性质。

对于在推导二项分布时的我们理解的事件，都是单次等概率的事件。即做一次实验，事件发生的概率是相同的，也就是定值

p，比如抛硬币。利用这类事件，我们已经非常容易地推导出二项分布的式子。

但是还有一种事件，固定的时间内它们发生的次数与单次实验事件发生的概率是无关的，而是与连续的时间段或者连续的空间大小有关，即单位时间/空间内时间发生的次数平均值为定值。典型的例子就是生产线产品的良品率，无论你用多少条相同的生产线做实验，良品率总是相等的。本文接下来要讨论的所有事件，均是此类事件。

此类事件具有累加性质。即事件在一个连续的时间段或者空间中持续以某种概率发生。

这种事件很难对应到二项分布的所谓独立实验重复多次的场景，我们不妨先借用一下

\lambda=n\times p

λ=n×p这个式子，从事情的本初开始。

负指数分布

再看一遍一段时间内事件发生平均次数的式子：

\lambda=n\times p

λ=n×p

如果

\lambda

λ为定值，即在确定的区间内，无论做多少次实验，都不会改变实验成功的次数，我们换一种写法：

p=\lambda\times \dfrac{1}{n}

p=λ×n1

即事件发生的概率与

\dfrac{1}{n}

n1成正比！至于

\dfrac{1}{n}

n1如何被解释，我们接着往下看。

如果我们把所谓的单位时间规约为1，那么

\dfrac{1}{n}

n1就是一个小的时间片，整个单位时间被分成了等大小的

n份，

n越大，时间片就越小，我们在单位1的约束下，不妨将

\dfrac{1}{n}

n1看作是

\Delta t

Δt，那么

p就是

\Delta t

Δt内事件发生

k次的概率：

(

)

P_k(\Delta t)=\lambda \Delta t

Pk(Δt)=λΔt

即事件发生的概率与时间片的长短成正比！

但是发生几次呢？至少发生1次！也可能发生2次，3次，5次，100次。可是，如果发生次数大于1次，在后面的推导中，便无法拟合二项分布的含义，如何将发生的次数限制在至多1次呢？

答案是将

\Delta t

Δt想象成非常小，即发生1次事件的概率都超级小，更何况多次。

所以，在

\Delta t

Δt非常小的保证下，我们认为

P_k

Pk可以表达成下面的式子：

(

)

(

)

(

)

P_k(\Delta t)=P_1(\Delta t)+o(\Delta t)=\lambda \Delta t

Pk(Δt)=P1(Δt)+o(Δt)=λΔt

我们将发生事件大于1次的概率看作是一个关于

\Delta t

Δt高阶无穷小。反正后面我们采用微积分推导时必然保证

\Delta t

Δt趋向于

0，因此高阶无穷小是可以忽略的。

我们忽略高阶无穷小后，有：

(

)

P_1(\Delta t)=\lambda \Delta t

P1(Δt)=λΔt

接下来，按照概率的定义，在

\Delta t

Δt内事件不发生的概率就是：

(

)

−

P_0(\Delta t)=1-\lambda \Delta t

P0(Δt)=1−λΔt

我们将其形式化：

(

)

−

P_0(t)=1-\lambda t

P0(t)=1−λt 【式子1】

注意，虽然我们为了形式化将

\Delta t

Δt换成了

t，但是这只是为了数学上推导方便，我们必须记住，自变量

t是时间片的长短，而不是一个绝对时间！那么按照

(

)

P_0(t)

P0(t)的解释，

(

)

P_0(t+\Delta t)

P0(t+Δt)的意思就是时间片长度为

t+\Delta t

t+Δt时事件不发生的概率！

请注意，长度为

t+\Delta t

t+Δt的时间片可以分割为连续的两个小时间片

t和

\Delta t

Δt，时间片

t+\Delta t

t+Δt中不发生事件的概率要求时间片

t和时间片

\Delta t

Δt中均不发生事件！按照概率相乘的原理：

(

)

(

)

(

)

P_0(t+\Delta t)=P_0(t)P_0(\Delta t)

P0(t+Δt)=P0(t)P0(Δt) 【式子2】

代入式子1，我们整理式子2：

(

)

(

)

(

−

)

(

)

−

(

)

P_0(t+\Delta t)=P_0(t)(1-\lambda \Delta t)=P_0(t)-\lambda \Delta tP_0(t)

P0(t+Δt)=P0(t)(1−λΔt)=P0(t)−λΔtP0(t)

稍微变换一下：

(

)

−

(

)

−

(

)

\dfrac{P_0(t+\Delta t)-P_0(t)}{\Delta t}=-\lambda P_0(t)

ΔtP0(t+Δt)−P0(t)=−λP0(t) 【式子3】

式子3是什么？取极限不就是个求导吗：

lim

⁡

→

(

)

−

(

)

′

(

)

−

(

)

\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{P_0(t+\Delta t)-P_0(t)}{\Delta t}=P_0\prime(t)=-\lambda P_0(t)

limΔt→0ΔtP0(t+Δt)−P0(t)=P0′(t)=−λP0(t)

写成微分方式：

(

)

(

)

−

\dfrac{d(P_0(t))}{P_0(t)dt}=-\lambda

P0(t)dtd(P0(t))=−λ

两边同时积分，按照第一类换元积分：

∫

(

)

(

)

∫

(

)

(

)

(

)

−

\displaystyle\int\dfrac{d(P_0(t))}{P_0(t)dt}dt=\displaystyle\int\dfrac{1}{P_0(t)}d(P_0(t))=log_eP_0(t)=-\lambda t+C

∫P0(t)dtd(P0(t))dt=∫P0(t)1d(P0(t))=logeP0(t)=−λt+C

取

e的指数得到：

(

)

−

P_0(t)=e^C\times e^{-\lambda t}

P0(t)=eC×e−λt

t是一个时间片，

t=0

t=0就是无，当然不会有任何事件发生，即

(

)

P_0(0)=1

P0(0)=1，即：

(

)

−

P_0(t)=e^{-\lambda t}

P0(t)=e−λt

在时间片长度为

t的时间内不发生事件的概率是

−

e^{-\lambda t}

e−λt，那么至少发生1个事件的概率就是：

(

)

−

P_1(t)=1-e^{-\lambda t}

P1(t)=1−e−λt

这就是概率积累函数，这不就是负指数分布吗？即单位时间内时间发生平均次数为固定值

\lambda

λ的事件的时间间隔的概率为负指数分布！

泊松分布

再看一遍一段时间内事件发生平均次数的式子：

\lambda=n\times p

λ=n×p

这里，我们依然假定

\lambda

λ为定值。这个是本文通篇的假定。

在推导负指数分布的时候，我们已经将单位时间分割成了要多小有多小的

\Delta t

Δt，并且我们还知道，这些小的时间片

\Delta t

Δt内发生1次以上事件的概率为

\Delta t

Δt的高阶无穷小，在参与取极限，微积分等数学运算的时候是被忽略的，于是我们得到了非常清爽的式子：

(

)

P_1(\Delta t)=\lambda \Delta t

P1(Δt)=λΔt

我们将其形式化：

(

)

P_1(t)=\lambda t

P1(t)=λt

注意，自变量

t是一个时间段，而不是绝对时间，这里再次强调。

好了，开始我们的推导。

现在我把这个已经非常小的时间片

t（也就是

\Delta t

Δt，只是写成

t好看一些）画出来：

我们终于可以套用二项分布中的实验模型了。

在

t时间片内，发生了一次事件。

我们知道

t已经非常小，小到可观测范围只能发生1次事件，发生1次以上事件的概率微乎其微(高阶无穷小

(

)

o(t)

o(t))，然而，由于时间片是连续的，即便再小它依旧是继续可分的，像分形一样，我们把

t放大，将其再等分成

m份：

之所以将

t再继续等分

m份是因为，我们知道

t时间片内事件发生的概率是

\lambda t

λt，那么在

t时间片内，如果事件发生了，那么事件具体在哪一个更精细的时间片内发生，又是一个概率问题：

是在第1个

\dfrac{t}{m}

mt时间片里发生吗？是在第2个

\dfrac{t}{m}

mt时间片里发生吗？是在第3个

\dfrac{t}{m}

mt时间片里发生吗？…是在第

m个

\dfrac{t}{m}

mt时间片里发生吗？

到底再哪个小时间片里发生呢？很简单，都有可能发生。都是等概率的，每个小时间片发生事件的概率均为

\dfrac{1}{m}

m1，按照概率相乘的规则：

事件在

t事件片发生的概率为

\lambda t

λt事件如果真的在

t时间片发生，那么它在某一个

\dfrac{t}{m}

mt小时间片发生的概率就是

\lambda t\times \dfrac{1}{m}

λt×m1

是的，概率就是

P=\lambda t\times \dfrac{1}{m}

P=λt×m1

哈哈，为了得到概率分布，我们可以做实验了：

连续做

k次实验，

k<m

\lambda t\times \dfrac{1}{m}

λt×m1

这就是一个典型的二项分布：

(

)

(

)

(

−

)

−

P(X=k)=C_m^k\times (\dfrac{\lambda t}{m})^k\times (1-\dfrac{\lambda t}{m})^{m-k}

P(X=k)=Cmk×(mλt)k×(1−mλt)m−k

现在事情可以开始了。

由于时间是连续流逝的(空间也一样)，那么时间片就是无限可分割的，我们求一个连续变量下事件发生的概率，需要就是将时间片(或者空间) 无限分割。

以上这个式子里，其实

t已经是无限分割的结果了，但是我们不要在乎

t，只需知道在

t时间片里至多发生1次事件就好了，重要的是，我们将

t分割

m份，让

m趋向于无穷大会怎样？

求极限：

lim

⁡

→

∞

(

)

(

−

)

−

\lim_{m \to \infty}C_m^k\times (\dfrac{\lambda t}{m})^k\times (1-\dfrac{\lambda t}{m})^{m-k}

limm→∞Cmk×(mλt)k×(1−mλt)m−k

直接求解即可，其中只需要应用一个重要极限公式，一切迎刃而解：

lim

⁡

→

∞

(

−

)

lim

⁡

→

∞

(

−

)

\lim_{m \to \infty}(1-\dfrac{\lambda t}{m})^m=\lim_{m \to \infty}(1-\dfrac{1}{\frac{m}{\lambda t}})^{\frac{m}{\lambda t}\lambda t}=e^{\lambda t}

limm→∞(1−mλt)m=limm→∞(1−λtm1)λtmλt=eλt

直接写答案吧：

(

)

−

(

)

P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^k}{k!}

P(X=k)=k!e−λt(λt)k

这是什么？这就是泊松分布。

即单位时间内时间发生平均次数为固定值

\lambda

λ的事件在单位时间内发生的次数符合泊松分布！

所以说，负指数分布和泊松分布是一回事。它们两个均可以从单位时间内时间发生平均次数为固定值

\lambda

λ 这个大前提推导出来。

生灭过程和排队

有来必有往，有去必有回。

我们为所谓的事件赋予其意义。

把单位时间发生的事件的看作请求的到达，那么，请求被处理自然也可以被看作是同类的事件。

请求不断地到达，又不断地被处理，这是一个马尔可夫过程，最终这个过程就形成了一个马尔可夫链，每一个状态，我们可以看作是未被处理请求为

i的概率：

由于请求的到来和被处理均是统计分布，那么统计意义的突发必然会造成排队，即上述的马尔可夫过程必然向后延展，然而如果系统是稳定的，积压的请求将会在突发空闲期被持续处理，从而使得马尔可夫过程向前收缩，最终对于每一个状态而言，都将达成一个平衡：

−

P_{i-1}\lambda+P_{i+1}\mu=P_i\lambda+P_i\mu

Pi−1λ+Pi+1μ=Piλ+Piμ

此外，系统中所有的状态的概率之和恒等于

1：

\displaystyle \Sigma_{i=0}^{n}P_i=1

Σi=0nPi=1

此外，对于状态

0，它没有前置状态，所以必然有：

P_0\lambda = P_1\mu

P0λ=P1μ

我们用此而递推：

(

)

P_{0}\lambda+P_{2}\mu=P_1(\lambda+\mu)

P0λ+P2μ=P1(λ+μ)

(

)

P_{1}\lambda+P_{3}\mu=P_2(\lambda+\mu)

P1λ+P3μ=P2(λ+μ)

(

)

P_{2}\lambda+P_{4}\mu=P_3(\lambda+\mu)

P2λ+P4μ=P3(λ+μ)

...

(

)

P_{i}\lambda+P_{i+2}\mu=P_{i+1}(\lambda+\mu)

Piλ+Pi+2μ=Pi+1(λ+μ)

上面所有式子整理，得到：

(

)

P_i=(\dfrac{\lambda}{\mu})^iP_0

Pi=(μλ)iP0

进一步：

(

)

\displaystyle \Sigma_{i=0}^{n}P_i=P_0\Sigma_{i=0}^{n}(\dfrac{\lambda}{\mu})^i=1

Σi=0nPi=P0Σi=0n(μλ)i=1

数列求和而已：

−

P_0\dfrac{\mu}{\mu-\lambda}=1

P0μ−λμ=1

嗯，这样就求出了

P_0

P0：

−

P_0=1-\dfrac{\lambda}{\mu}

P0=1−μλ

那么

P_i

Pi自然也求出来了：

(

−

)

(

)

P_i=(1-\dfrac{\lambda}{\mu})(\dfrac{\lambda}{\mu})^i

Pi=(1−μλ)(μλ)i

接下来，排队论基础中的典型结论基本就都能出来了：

平均排队实体数量

−

N_{avg}=\Sigma_{n}nP_n=\dfrac{\lambda}{\mu-\lambda}

Navg=ΣnnPn=μ−λλ平均等待时延

−

T_{avg}=\dfrac{N}{\lambda}=\dfrac{1}{\mu-\lambda}

Tavg=λN=μ−λ1.…

现在公式都可以非常简单明确地根据泊松分布，负指数分布推导出来了，但是问题是，你真的相信世界上的一些事情符合泊松分布吗？或者说，即便你相信它们符合，它们真的符合泊松分布吗？

如果是，那么上面的公式就可以描述一切，如果不是，怎么办？

泊松分布/排队论的适用性

基于泊松分布/负指数分布的排队论不适用任何现实场景！！

因为现实中根本就没有什么事件规律符合泊松分布。

我们以为路面某个监测点的车辆的到达符合泊松分布，但是非也！几乎可以肯定，人是喜欢跟风的，这意味着车辆到达某个点并非独立事件，这也是交通拥堵的根本原因。

我们以为互联网交换节点数据包的到达符合泊松分布，但是非也！数据包确实具有突发性达到的特征，但是前后两个数据包之间关联着巨大的粘性，它们并非独立到达的。这也是我在2014年设计状态防火墙cache的依据，利用局部性嘛。

之所以泊松分布的结论被如此普遍地被利用，完全在于其在数学上非常容易处理，容易预测后事。然后我们利用现实的参数，给予矫正，即可得到相当不错的结论。

其实仔细想想，世界本应该就是泊松分布主宰的，所谓的跟风和粘性，那可能是人性使然。路面上车里的司机，你不认识我，我也不认识你，大家却往同一条路上走，如果不是我相信别人有更好的选择，那么就是别无选择了…对了，上下班高峰，节假日，天气，也会让泊松分布失效。但这些说来说去还是因为人为原因导致，比如人都是白天才出门，晚上则闭户。所以说，你要把事件尺度拉大，在以年为单位时间的范围，或者更长的单位1，泊松分布将会越离越拟合现实。

单队列和多队列的问题

存在多个服务台的情况下，到底是单队列效率高还是多队列效率高？

这个我们来算一下。

M/M/1情况下，单队列，排队实体的平均等待延时为：

−

T_{single}=\dfrac{1}{1\times\mu-\lambda}

Tsingle=1×μ−λ1.

如果队列被分成了

N个，那么单位

1作用于每一个队列则为

\dfrac{1}{N}

N1，而平均到达率对于每一个队列，均将是

\dfrac{\lambda}{N}

Nλ，平均等待时间，代入上式：

(

)

−

T_{multi}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{N})\times \mu-\dfrac{\lambda}{N}}=N\times T_{single}

Tmulti=(N1)×μ−Nλ1=N×Tsingle

很遗憾，有点有悖于常识，如果采用多队列，平均等待时间将会延长！这就是为什么对于以太网这种统计复用的突发流量网络而言，并没有采用任何XDM（X可为时间，频率…）的策略，而只是采用了时间域上单队列退避的CSMA/CD策略的原因！

然而，比如以Linux内核而论，进程调度，却是多队列的，每CPU核心一个队列，这是Why？这是因为，相比于进程的到达和被调度，锁以及cache miss的开销更大，这纯粹是一个实现上的工程优化，不伤排队论的大雅，和算法无关。

经理能不能扣篮

经理穿着皮鞋能扣篮吗？我觉得能。

经理能扣篮，但不经常，也不绝对。

这就跟总有那么一个非零的概率，一个立方的空气分子全部朝着一个方向运动是一样的道理。

经理能扣篮，这只是一个概率性的结论，经理能扣篮并不意味着经理扣篮就一定能成功。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。

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从负指数分布/泊松分布到排队论(经理能扣篮，但不经常也不绝对)

从经理穿着皮鞋能不能扣篮，引起了一段思考。周六上午在家带娃，我已经快崩溃，所以作文时间放在了午后。假如你相信上帝真的是在掷骰子，那么我们的世界就是上帝的一系列实验生成的。假如你相信世界是二元元素的组合，那么使用二进制便可以完整描述整个世界。一切从二项分布开始裂变。二项分布让我们看一道非常简单的概率统计习题：如果做一次实验，一个独立的事件EEE发生的概率是ppp，那么请问，连续做nn...

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泊松分布与指数分布的理解

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10-11

1万+

说到泊松分布，最好是明白：泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式。二项分布：已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从二项分布。泊松分布式某段连续的时间内事情发生的次数。事情发生的时间是可以忽略的。关注的是事件的发生。泊松分布是离散的变量。

这段时间是确定大小的，不是说某两件事件（不知何时发生）的间隔。把连续的时间分割层无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每

排队论M/G/1队列模型

01-25

介绍排队论中M/G/1队列模型，并根据p-k公式推导相应的平均逗留时间

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M/M/1 排队论C程序

09-23

M/M/1 排队论C程序排队论C程序排队论C程序，希望能对大家有所帮助。

matlab_queue_system.rar_queue_泊松排队_泊松分布_泊松过程_缓冲区排队

07-15

自己写的用Matlab模拟一个缓冲区大小（包括正在服务的那个）为10的随机排队系统。

（1）到达过程是的泊松过程（到达速率为Mu），服务时间服从独立指数分布（均值为1/Lamda）。

对Mu//Lamda=0.2，Mu//Lamda=0.8和Mu//Lamda=1.1三种情况进行仿真，求出队列中接受服务用户为n的概率P(n), n=0,...,10。并与理论结果进行比较。

（2）假设到达过程为均匀过程（到达速率为Mu），服务时间服从独立瑞利分布（均值为1/Lamda）。

paiduilun.zip_排队论仿真_排队论仿真_正太分布排队_正态分布仿真_泊松分布排队

09-23

泊松流正态分布排队论仿真包括MATLAB画图，希望有帮助，

排队论M/G/K模型应用

09-23

排队论模型在高速公路收费站的应用，我们可以通过此模型设置高速公路收费站。

数学系列 - 概率论 - 泊松分布和(负)指数分布

努力学习的！

02-27

1万+

@[TOC](概率论 - 泊松分布和(负)指数分布)

参考链接1

参考链接2

1. 泊松分布

（1）引语

（2）含义与公式

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

公式解释：

等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示

指数分布和泊松分布的区别和联系

123

07-15

1万+

1. 两者的联系

2. 两者的模型

（1）指数分布

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/2021071514570235.png?x-oss-process=im

排队论初探

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排队论

一、泊松过程和负指数分布

1.1 泊松分布

Cnkpk(1−p)n−k,p=λn(1)

C^k_np^k(1-p)^{n-k},\tag{1}\\

p = \frac \lambda n

Cnkpk(1−p)n−k,p=nλ(1)

这个式子很好解释，第一行描述的是一个二项分布，做n次实验，有k个人来的概率。而第二个式子就是描述的是概率的计算过

泊松分布，指数分布与排队论模型

smartxiong_的博客

03-22

8652

转自http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html泊松分布和指数分布：10分钟教程

泊松分布与指数分布

泊松分布

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

日常生活中，大量事件是有固定频率的:

某医院平均每小时出生3个婴儿

某公司平均每10分钟接到1个电话

某超市平均每天销售4包xx牌奶粉

某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。

上面就是泊松分布的公

排队论

喜欢打篮球的普通人

08-29

6467

排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。

它研究的内容有下列三部分：

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（ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。

（iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符...

人工智能数学基础--概率与统计14：连续随机变量的指数分布、威布尔分布和均匀分布

老猿Python

12-04

4401

本文是老猿学习中国科学技术大学出版社出版的陈希孺老先生的《概率论与数理统计》的总结和思考，在文中介绍了指数分布、威布尔分布和均匀分布的概念，以及其中一些推导过程，在文中根据老猿自己的理解补充说明了一些推导过程。

泊松分布和指数分布：10分钟教程

童真的烂漫的专栏

06-11

2183

http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html

一、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定频率的。

某医院平均每小时出生3个婴儿

某公司平均每10分钟接到1个电话

某超市平均每天销售4包xx牌奶粉

某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数

泊松分布与指数分布的区别

柳汀轩

06-25

2594

泊松分布是指单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

如上图所示，横轴代表独立事件，如一小时内有20辆汽车经过路口，纵轴代表独立事件在单位时间发生的概率。

如上图所示，对于指数分布，横轴代表时间间隔，纵轴代表独立事件发生的概率。

关于概率分布理论的原理分析的一些讨论，以及经典概率分布的应用场景，以及概率统计其在工程实践中的应用...

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1. 随机变量定义

0x1：为什么要引入随机变量这个数学概念

在早期的古典概率理论研究中，人们基于随机试验的样本空间去研究随机事件，也发展出了非常多辉煌的理论，包括著名的贝叶斯估计在内。

但是随着研究的不断深入，遇到问题的不断复杂化，科学家们发现面对的问题也不仅仅是抛色子，口袋里摸球、抛硬币伯努利试验这样的简单问题，而是更加复杂的问题，例如

多个随机试验的组合问题：例如考虑n个伯努利随...

MATLAB生成负指数分布

weixin_42003110的博客

03-29

6894

实现代码如下：

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y=5*exp(-x);

plot(x,y);

C语言生成负指数分布,泊松分布与负指数分布的关系

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05-23

1842

指数分布和泊松分布的区别？分布不同泊松分布参数是单位时间(或单位面积)随机事件发生的平均次数。泊松分布适用于描述单位时间内的随机事件数。指数分布可以用来表示独立随机事件的时间间隔，如旅客进入机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等。(排队论)服务时间服从负指数分布到底怎么理解？我正在做随机petri网方面的论文，构建了一个随机Petri网，同构一MC然后负指数分布(也称为指数分布)是...

泊松分布和指数分布

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负指数分布

定义：

在概率论和统计学中，负指数分布又称为指数分布（英语：Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔等等。

概率密度函数：

其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。如果一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X ~ Exponential（λ）

累计分布函数：

性质：

均值和方差

随机变量X (X 的率参数是λ) 的期望值是：

比方说：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X 的方差是：

X的偏离系数V(x)=1;

无记忆性

无记忆性又称为遗失记忆性，这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

与泊松过程的关系

泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于

长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于

。这是指数分布,这还表明了泊松过程的无记忆性。

应用

在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。

负指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准当中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，负指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。

负指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。负指数分布比幂分布趋近0的速度慢很多,所以有一条很长的尾巴。指数分布很多时候被认为是长尾分布。互联网网页链接的出度入度符合指数分布

负指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为1/λ，方差为(1/λ)的平方。

债券违约事件建模

CDS（信用违约互换）定价的一个重要步骤是对债务人的信用违约事件进行建模，从而可用风险中性定价理论来推导理论价格。对信用违约事件建模分为结构法与强度法，而强度法的最基本模型就是用泊松过程来模拟违约事件，并把第一次泊松“跳”的时间作为违约时间。这样，我们就可以利用参数为λ的指数分布来对违约时间建模。

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2018-08-21 19:44

默写年华

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指数分布 - 搜狗百科

- 搜狗百科指数分布，别称负指数分布，在概率理论和统计学中用来描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布。指数分布描述了事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程，是一种连续概率分布。其重要特征是无记忆性，可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔。网页微信知乎图片视频医疗汉语问问百科更多»登录帮助首页任务任务中心公益百科积分商城个人中心指数分布编辑词条添加义项同义词收藏分享分享到QQ空间新浪微博指数分布，别称负指数分布，在概率理论和统计学中用来描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布。指数分布描述了事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程，是一种连续概率分布。其重要特征是无记忆性，可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔。中文名指数分布展开适用领域范围概率论、数理统计展开应用学科数学[1]展开外文名Exponential Distribution展开别称指数随机变量展开实例正态分布、二项分布、泊松分布展开参考资料：1. 独立同指数分布随机变量和的高阶矩的计算维普资讯[引用日期2022-03-08]词条标签：科学百科数理科学分类科学学科免责声明搜狗百科词条内容由用户共同创建和维护，不代表搜狗百科立场。如果您需要医学、法律、投资理财等专业领域的建议，我们强烈建议您独自对内容的可信性进行评估，并咨询相关专业人士。词条信息词条浏览：284693次最近更新：22.03.28编辑次数：31次创建者：用户农夫突出贡献者：新手指引了解百科编辑规范用户体系商城兑换问题解答关于审核关于编辑关于创建常见问题意见反馈及投诉举报与质疑举报非法用户未通过申诉反馈侵权信息对外合作邮件合作任务领取官方微博微信公众号搜索词条编辑词条收藏查看我的收藏分享分享到QQ空间新浪微博投诉登录企业推广免责声明用户协议隐私政策编辑帮助意见反馈及投诉© SOGOU.COM 京ICP备11001839号-1 京公网安备110000020000

指数分布 - 知乎

指数分布 - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册指数分布在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它…查看全部内容关注话题管理分享百科讨论精华视频等待回答简介在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。更多信息中文名指数分布外文名ExponentialDistribution别称指数随机变量应用学科数学适用领域范围概率论适用领域范围数理统计实例正态分布，二项分布，泊松分布数据由搜狗百科提供查看百科全文百科摘录1从常数e，推导出二项式与泊松分布的情缘下的内容摘录知乎用户北京三快在线科技有限公司软件开发指数分布是事件的时间间隔的概率，指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个汽车儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有汽车出现，也就是t时间内出现汽车的次数为0。知乎小知摘录于 2020-04-24浏览量309 万讨论量1232 帮助中心知乎隐私保护指引申请开通机构号联系我们举报中心涉未成年举报网络谣言举报涉企虚假举报更多关于知乎下载知乎知乎招聘知乎指南知乎协议更多京 ICP 证 110745 号 · 京 ICP 备 13052560 号 - 1 · 京公网安备 11010802020088 号 · 京网文[2022]2674-081 号 · 药品医疗器械网络信息服务备案（京）网药械信息备字（2022）第00334号 · 广播电视节目制作经营许可证:（京）字第06591号 · 服务热线：400-919-0001 · Investor Relations · © 2024 知乎北京智者天下科技有限公司版权所有 · 违法和不良信息举报：010-82716601 · 举报邮箱：jubao@zhihu.

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指数分布公式的含义是什么？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学数理统计学概率论指数分布指数分布公式的含义是什么？关注者335被浏览535,421关注问题写回答邀请回答好问题 18添加评论分享17 个回答默认排序马同学数学话题下的优秀答主关注1 泊松分布指数分布和泊松分布息息相关，所以先简单回忆下之前介绍过的泊松分布。公司楼下有家馒头店，每天早上六点到十点营业：老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据），想从中找到一些规律： \begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销售\qquad\\ \hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\ \hline \color{blue}{周二}& 7 \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\ \hline \color{Goldenrod}{周四}&6\\ \hline \color{green}{周五}&5\\ \end{array} \\从中可以得到最简单的规律，均值：\overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5 \\这个规律显然不够好，如果把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T 来表示：然后把卖出的馒头数画在这根线段上（节约篇幅，只画出周一周二作为示意），可以看到每天卖出的馒头起伏还是很大的：经过老板一系列的骚操作（更具体的推导请看如何理解泊松分布），最后得到每日卖出的馒头数X 服从泊松分布：X\sim P(\lambda),\quad \lambda=\overline{X}\\泊松分布的具体表达式为：P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\据此可以画出每日卖出馒头数的概率分布，这个规律就比均值要精细很多了：2 馒头卖出之间的时间间隔下面来讨论另外一个问题，馒头卖出之间的时间间隔：可以看出也是随机变量（也就是图中的T_1、T_2、T_3、\cdots ），不过相对馒头卖出个数而言，时间间隔肯定是连续的随机变量。如果知道这个时间间隔，老板也好调整自己的服务员人数（时间间隔短，那么需要的服务人员就多，反之需要的就少），优化成本结构。那么问题来了，这个时间间隔服从什么分布？3 一天的间隔既然都是卖馒头的问题，那么还是让我们从已知的泊松分布上想想办法。之前得到的泊松分布让我们知道了每天卖出的馒头数，所以下面按天来分析看看。假如某一天没有卖出馒头，比如说周三吧，这意味着，周二最后卖出的馒头，和周四最早卖出的馒头中间至少间隔了一天：当然也可能运气不好，周二也没有卖出馒头。那么卖出两个馒头的时间间隔就隔了两天，但无论如何时间间隔都是大于一天的：而某一天没有卖出馒头的概率可以由泊松分布得出：P(X=0)=\frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\\根据上面的分析，卖出两个馒头之间的时间间隔要大于一天，那么必然要包含没有卖出馒头的这天，所以两者的概率是相等的。如果假设随机变量为：Y=卖出两个馒头之间的时间间隔\\那么就有：P(Y > 1)=P(X=0)=e^{-\lambda}\\4 泊松过程之前求出的泊松分布实在限制太大，只告诉了我们每天卖出的馒头数。不过没有关系，稍微扩展下可以得到新的函数：P(X=k,t)=\frac{\left(\lambda t\right)^k}{k!}e^{-\lambda t}\\通过新的这个函数就可知不同的时间段内卖出的馒头数的分布了（t=1 时就是泊松分布）： \begin{array}{c|c} \hline \quad \quad &\quad t\quad&\quad PDF\quad\\ \hline \\ 每天卖出的馒头数 & 1 & P(X=k,1)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\ 半天卖出的馒头数 & \frac{1}{2} & P(X=k,\frac{1}{2})=\frac{\left(\frac{1}{2}\lambda\right)^k}{k!}e^{-\frac{1}{2}\lambda}\\ 三小时卖出的馒头数 & \frac{1}{8} & P(X=k,\frac{1}{8})=\frac{\left(\frac{1}{8}\lambda\right)^k}{k!}e^{-\frac{1}{8}\lambda}\\ \\ \hline \end{array}\\扩展后得到的函数称为\color{Salmon}{泊松过程} ，这里涉及到比较复杂的知识，就不做推导了，感兴趣的同学可以自行根据关键字扩展学习。5 指数分布两次卖出馒头之间的时间间隔大于t 的概率，根据之前的分析，等同于t 时间内没有卖出一个馒头的概率，而后者的概率可以由泊松过程给出。至此所需的条件都齐备了，那么开始解题吧，假设随机变量：Y=两次卖出馒头之间的时间间隔\\这个随机变量的概率可以如下计算：P(Y > t)=P(X=0, t)=\frac{\left(\lambda t\right)^0}{0!}e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t},\quad t \ge 0\\进而有：P(Y \le t)=1-P(Y > t)=1-e^{-\lambda t}\\这其实已经得到了Y 的累积分布函数了： F(y)=P(Y \le y)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda y}, & y \ge 0\\ 0,& y < 0 \end{cases} \\对其求导就可以得到概率密度函数： p(y)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda y}, & y \ge 0\\ 0,& y < 0 \end{cases} \\这就是卖出馒头的时间间隔Y 的概率密度函数，也称为\color{Salmon}{指数分布} 。6 指数分布的图像指数分布中的\lambda 是每日平均卖出的馒头数，如果\lambda 越大，也就是说每日卖出的馒头越多，那么两个馒头之间的时间间隔必然越短，这点从图像上也可以看出。当\lambda 较小的时候，比如说\lambda=1 吧，也就是说一天只卖出一个馒头，那么馒头卖出间隔时间大于1的可能性就很大（下图是指数分布的概率密度函数的图像，对应的概率是曲线下面积）：而如果\lambda 较大的时候，比如说\lambda=3 吧，也就是说一天卖出三个馒头，那么馒头卖出间隔时间大于1的可能性已经变得很小了：7 泊松分布与指数分布的期望每日卖出馒头的数目X 服从泊松分布，卖出馒头的时间间隔Y 服从指数分布：X\sim P(\lambda),\quad Y\sim Exp(\lambda)\\他们的期望分别为：E(X)=\lambda,\quad E(Y)=\frac{1}{\lambda}\\根据之前的分析就比较好理解了，E(X) 的含义是平均每日卖出的馒头数，而E(Y) 是每个馒头之间卖出的平均时间间隔，所以两者是倒数关系：每日卖出的越多自然间隔时间越短，每日卖出的越少自然间隔时间越长。8 小结还有未尽的一些解释，比如：为什么指数分布常常用来描述电器寿命？为什么指数分布和几何分布一样具有无记忆性？这些都是因为泊松分布、指数分布源于二项分布导致的，这里不再一一解释，有机会再详细说明。欢迎加入马同学图解数学系列编辑于 2024-01-05 12:17赞同 199699 条评论分享收藏喜欢收起一只小橘子关注要理解指数分布，肯定逃不开的一点是要理解泊松过程。泊松分布，指在单位时间里（也可以是在时间t内），事件出现的次数，次数可以是x=0,1,2,……直至可数无穷次。指数分布，需要强调的是，说的是时间，是我们关注的事件A第一次出现时，等待的时间。接下来我们可以通过泊松概率求得指数分布的概率密度函数F_{X_{1}}(x)=P(X_{1} \leq x)=1-P(X_{1}> x) 随机变量 X_{1} 表示事件A出现时（可以想象成车站等公交车），我们等待的时间F_{X_{1}}(x)=P(X_{1} \leq x) 表示在时间 x 内事件A出现了（也就是等到了公交）的概率已知 P(X_{1} \leq x)=1-P(X_{1}> x) 我们先计算 P(X_{1}> x) 的概率，直观解释是在时间 x 内，事件A并没有出现！换种说法是在 [0,x] 时间段内，事件A出现0次。在一段时间内，事件出现的次数问题，就是泊松过程。则 N(x)\sim Poisson(\lambda x),P(X_{1}> x)=P(N(x)=0)= \frac{e^{-\lambda x}{(\lambda x )^0}}{0!}=e^{-\lambda x} F_{X_{1}}(x)=P(X_{1} \leq x)=1-P(X_{1}> x)=1-e^{-\lambda x} f_{X_{1}}(x)=F_{X_{1}}^{'}(x)=\lambda e^{- \lambda x} \sim E(\frac{1}{\lambda}) ,x>0 我们得出来的就是参数为 \frac{1}{\lambda} 的指数分布。我们利用泊松分布的概率，得出事件A出现，需要等待的时间 X_{1} 是一个连续随机变量，这个随机变量的概率密度函数是服从指数分布的，指数分布的参数，就是在泊松过程中，单位时间出现次数（intensive）的倒数，即 \frac{1}{\lambda} 编辑于 2018-09-29 13:30赞同 9610 条评论分享收藏喜欢

指数分布「Exponential Distribution」 - 知乎

指数分布「Exponential Distribution」 - 知乎切换模式写文章登录/注册指数分布「Exponential Distribution」cube多年大厂数据挖掘数据科学经验F\left( y \right) = P\left( Y \leq y \right) = 1 - e^{-\lambda y} ， \lambda 是满足泊松过程的参数，表示在单位时间里事件发生的次数；指数分布意义是？描述某个事件发生的时间间隔，是连续型变量，它的分布满足指数分布；例如我们想要预测下面的事件：某网站每隔20min有一个用户支付的概率；你在一个公交站等待时间超过15min的概率；假设该公交站平均一天来24辆公交车，则每日公交车数 X\sim P(\lambda = 10) ， Y\sim Exp(\lambda = 10) 现在的问题是 \lambda*e^{-\lambda t} 是下次事件发生的pdf函数，然后 X \sim Exp(0.25) 是什么意思？X \sim Exp(\lambda) 指数分布的 \lambda 跟possion分布的 \lambda 是一样的吗？首先要明确的是，这个参数是一样的，是同一件事，例如blog每天的访客是500，每个小时到你的商店的顾客，每周车祸，一篇文章的错别字，一年发生的地震，都是单位时间里面事件的发生率，是possion分布的参数；然而，我们是想要建模事件之间的时间段，e.g.，一台电脑正常使用不出问题的时间是10年（或者可以说是每年有0.1不正常率），每10分钟进来一个顾客，每7年一次飓风，etc。当你看到这个术语：指数分布的平均值指的是 1/\lambda “衰减参数”或者是“衰减系数”在指数分布里面会很常见，且衰减系数常被通过时间来表达（e.g. 每10分钟，每7年等）是possion中 \lambda 的倒数。例如每个小时到店3个顾客，那每1/3小时到店一个顾客。现在我们能回答这个问题了： X \sim Exp(0.25) 代表的含义了表示possion率是0.25，在一个单位时间内，事件平均发生了0.25次，转为时间概念，就是每4个小时，事件发生一次，这里我假定单位时间是1个小时公式推导：我们的第一个问题是：为什么 \lambda*e^{-\lambda t} 是下次时间发生所需要的时间的概率密度函数？指数分布的定义是：possion过程事件发生间隔的时间长度，或者说在等待事件发生的时间间隔里，没有任何一个事件发生。换句话说，Possion(X = 0)需要记住一件事：Possion的PDF表示的时间区间是：事件发生k次刚好是一个单位时间，如果你想建模在时间区间t内没有时间发生的概率，可能这个时间不仅仅是一个单位时间，所以possion分布假设事件之间是相关独立的，因此计算在t个单位时间内，时间发生0次的概率是P(X = 0在单个时间间隔)* t个时间间隔PDF是CDF求导数，所以The probability density function is the derivative of the cumulative density function.Memoryless PropertyThis means…Show me the proof?无记忆性是一个有用的属性吗使用指数分布对机械设备的寿命进行建模是合理的吗？例如一个机器已经使用9年了，无记忆性说明这个机器再使用3年的概率跟一台全新的机器再使用三年的概率是一致的，这是否是合理的？我自己觉得依据历史经验是不合理的，更老的设备更容易坏的。所以为了适应这种属性，可以使用Weibull 分布做一个随着设备年龄增长的一个”故障系数“那么什么时候使用指数分布是合适的尼？交通事故。例如一天的前5个小时未发生事故并不能增加或者减少你发生事故的概率。所以这也是为啥 \lambda 被称为“危险系数”的原因。那个函数也有这种无记忆属性尼？指数分布是唯一的具有这个熟悉的连续分布（或者说有固定的”失败率“）几何分布是唯一的具有这个属性的离散分布。应用实战：通过指数分布的分布值可知，会有更多的小的值以及更少的大的值，比如在公交站10分钟以内来一辆车的概率大于60分钟的。使用指数分布，我们可以回答下面的问题。 1.公交车平均每15分钟一班。（假设一辆公交车跟下一辆公交车的时间间隔服从指数分布，这个意味着一个小时内公交车的数服从possion分布）然后假设我刚错过了一班公交车，如果在10分钟之类下一班车没有过来，我准备叫Uber或者是我就迟到了。所以想知道下班公交车在10分钟之类到达的概率是多少？ 2.下一辆公交车到达的时间的90%分位数是多少？ 3.两辆公交车平均的时间间隔是多少？故障建模【reliability（failure）modeling】以前我们常对事件成功次数建模，其实我们也可以对失败建模，比如一个设备能无故障运行多长时间？AWS服务器重启之后正常运行的时间服从指数分布的，且平均为8000个小时， 1.如果你没有备用服务器且需要服务器不间断的运行10000个小时，你能完成的概率是多少？ 2.服务器在12个月到18个月不需要重启的概率是多少尼？排队就餐时间建模（Queuing Theory）进海底捞排队等待的时间服从指数分布练习：指数分布公式的含义是什么？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/24796044/answer/673838656编辑于 2022-11-06 23:04・IP 属地北京经济指数指数分布指数赞同 13添加评论分享喜欢收藏申请

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